3.766 \(\int \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=784 \[ \frac{\sqrt{c+d} \left (-a^2 d^2+6 a b c d+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right ) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{4 b^2 d f \sqrt{a+b}}+\frac{(a+b)^{3/2} (-a d+5 b c+2 b d) \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{4 b^2 f \sqrt{c+d}}-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{(b c-a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{(a d+5 b c) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{\sqrt{a+b} (c-d) \sqrt{c+d} (a d+5 b c) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{4 b f (b c-a d)} \]

[Out]

(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(5*b*c + a*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c
+ d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - S
in[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f
*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*b*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(6*a*b*c*d - a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 4*d^2))*El
lipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e
+ f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*
(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f
*x]))/(4*b^2*Sqrt[a + b]*d*f) + ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*
x]]) - ((5*b*c + a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((a + b)^(3/2)*(
5*b*c - a*d + 2*b*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f
*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c +
d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]
))/(4*b^2*Sqrt[c + d]*f) - (b*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 3.51634, antiderivative size = 784, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 29, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.276, Rules used = {2821, 3047, 3061, 3053, 2811, 2998, 2818, 2996} \[ \frac{\sqrt{c+d} \left (-a^2 d^2+6 a b c d+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right ) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{4 b^2 d f \sqrt{a+b}}+\frac{(a+b)^{3/2} (-a d+5 b c+2 b d) \sec (e+f x) (c+d \sin (e+f x)) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right )}{4 b^2 f \sqrt{c+d}}-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{(b c-a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{(a d+5 b c) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{\sqrt{a+b} (c-d) \sqrt{c+d} (a d+5 b c) \sec (e+f x) (a+b \sin (e+f x)) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right )}{4 b f (b c-a d)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(Sqrt[a + b]*(c - d)*Sqrt[c + d]*(5*b*c + a*d)*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c
+ d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - S
in[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f
*x]))]*(a + b*Sin[e + f*x]))/(4*b*(b*c - a*d)*f) + (Sqrt[c + d]*(6*a*b*c*d - a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 + 4*d^2))*El
lipticPi[(b*(c + d))/((a + b)*d), ArcSin[(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e
+ f*x]])], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*
(a + b*Sin[e + f*x])))]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*(a + b*Sin[e + f
*x]))/(4*b^2*Sqrt[a + b]*d*f) + ((b*c - a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*
x]]) - ((5*b*c + a*d)*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(4*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + ((a + b)^(3/2)*(
5*b*c - a*d + 2*b*d)*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f
*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c +
d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]
))/(4*b^2*Sqrt[c + d]*f) - (b*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))/(2*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])

Rule 2821

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -S
imp[(b*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n)/(f*(m + n)), x] + Dist[1/(d*(m + n)),
Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - 1)*Simp[a^2*c*d*(m + n) + b*d*(b*c*(m - 1) + a*d*n
) + (a*d*(2*b*c + a*d)*(m + n) - b*d*(a*c - b*d*(m + n - 1)))*Sin[e + f*x] + b*d*(b*c*n + a*d*(2*m + n - 1))*S
in[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && LtQ[0, m, 2] && LtQ[-1, n, 2] && NeQ[m + n, 0] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

Rule 3047

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((c^2*C - B*c*d + A*d^2)*Cos[e +
f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2)), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(
c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + (c
*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*c*
d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n + 1)
))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2,
0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3061

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(Sqrt[(a_.) + (b_.)*sin[(e_.) +
(f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]])/(d*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]), x] + Dist[1/(2*d), Int[(1*Simp[2*a*A*d - C*(b*c - a*d) - 2*(a*c*C - d
*(A*b + a*B))*Sin[e + f*x] + (2*b*B*d - C*(b*c + a*d))*Sin[e + f*x]^2, x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c
+ d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0]
&& NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3053

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.
)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[C/b^2, Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f
*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]], x], x] + Dist[1/b^2, Int[(A*b^2 - a^2*C + b*(b*B - 2*a*C)*Sin[e + f*x])/((a + b
*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a
*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 2811

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/Sqrt[(c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Simp[
(2*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a
*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*EllipticPi[(b*(c + d))/(d*(a + b)), ArcSin[(Rt[(a + b
)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d))/((a + b)*(c - d))])/(d*f*
Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2} \, dx &=-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{\int \frac{\sqrt{c+d \sin (e+f x)} \left (\frac{1}{2} d \left (4 a^2 c-b^2 c+3 a b d\right )+d \left (3 a b c+2 a^2 d+b^2 d\right ) \sin (e+f x)+\frac{3}{2} b d (b c+a d) \sin ^2(e+f x)\right )}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx}{2 d}\\ &=\frac{(b c-a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{-\frac{1}{4} b \left (a^2-b^2\right ) d \left (4 a c^2+b c d+a d^2\right )-\frac{1}{2} b \left (a^2-b^2\right ) d \left (2 b c^2+3 a c d+b d^2\right ) \sin (e+f x)-\frac{1}{4} b \left (a^2-b^2\right ) d^2 (5 b c+a d) \sin ^2(e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{b \left (a^2-b^2\right ) d}\\ &=\frac{(b c-a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{(5 b c+a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{-\frac{1}{4} b \left (a^2-b^2\right ) d^2 \left (8 a^2 c^2-5 b^2 c^2+6 a b c d+3 a^2 d^2\right )-\frac{1}{2} b \left (a^2-b^2\right ) d^2 \left (5 a^2 c d+b^2 c d+3 a b \left (c^2+d^2\right )\right ) \sin (e+f x)-\frac{1}{4} b \left (a^2-b^2\right ) d^2 \left (6 a b c d-a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right ) \sin ^2(e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{2 b \left (a^2-b^2\right ) d^2}\\ &=\frac{(b c-a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{(5 b c+a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{\int \frac{-\frac{1}{4} b^3 \left (a^2-b^2\right ) d^2 \left (8 a^2 c^2-5 b^2 c^2+6 a b c d+3 a^2 d^2\right )+\frac{1}{4} a^2 b \left (a^2-b^2\right ) d^2 \left (6 a b c d-a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right )+b \left (-\frac{1}{2} b^2 \left (a^2-b^2\right ) d^2 \left (5 a^2 c d+b^2 c d+3 a b \left (c^2+d^2\right )\right )+\frac{1}{2} a b \left (a^2-b^2\right ) d^2 \left (6 a b c d-a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right )\right ) \sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{2 b^3 \left (a^2-b^2\right ) d^2}+\frac{\left (6 a b c d-a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right ) \int \frac{\sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{8 b^2}\\ &=\frac{\sqrt{c+d} \left (6 a b c d-a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right ) \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{4 b^2 \sqrt{a+b} d f}+\frac{(b c-a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{(5 b c+a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{((a+b) (b c-a d) (5 b c+a d)) \int \frac{1+\sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{8 b}+\frac{((a+b) (b c-a d) (5 b c-a d+2 b d)) \int \frac{1}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{8 b^2}\\ &=\frac{\sqrt{a+b} (c-d) \sqrt{c+d} (5 b c+a d) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{4 b (b c-a d) f}+\frac{\sqrt{c+d} \left (6 a b c d-a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2+4 d^2\right )\right ) \Pi \left (\frac{b (c+d)}{(a+b) d};\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a-b) (c+d)}{(a+b) (c-d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(c+d) (a+b \sin (e+f x))}} \sqrt{\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(c-d) (a+b \sin (e+f x))}} (a+b \sin (e+f x))}{4 b^2 \sqrt{a+b} d f}+\frac{(b c-a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}-\frac{(5 b c+a d) \cos (e+f x) \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}{4 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}+\frac{(a+b)^{3/2} (5 b c-a d+2 b d) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{4 b^2 \sqrt{c+d} f}-\frac{b \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}{2 f \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 9.48356, size = 1849, normalized size = 2.36 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

-(d*Cos[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(2*f) + ((-4*(-(b*c) + a*d)*(8*a*c^2 + 7*b
*c*d + 3*a*d^2)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e +
Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[
e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a
*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[
a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - 4*(-(b*c) + a*d)*(8*b*c^2 + 12*a*c*d + 4*b*d^2)*((Sqrt[((c + d
)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin
[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*
x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e
+ Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c +
d*Sin[e + f*x]]) - (Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d)
, ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c
) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2
*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c
) + a*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) + 2*(-5*b*c*d - a*d^2)*((Cos[e + f*
x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[(a - b)/(a + b)]*(a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*
x)/2]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2])/Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]], (
2*(-(b*c) + a*d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*d*Sqrt[((a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/
(a + b*Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]*Sqrt[((a + b)*(c + d*Sin[e +
f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]) - (2*(-(b*c) + a*d)*((((a + b)*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2
- f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*
c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c
+ d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]
^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
- ((b*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), Arc
Sin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a
*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a +
b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a
*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])))/(b*d)))/(8*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 4.23, size = 277165, normalized size = 353.5 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)*(c+d*sin(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{3}{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)*(c+d*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sin(f*x + e) + a)*(d*sin(f*x + e) + c)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)*(c+d*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))**(1/2)*(c+d*sin(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: AttributeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)*(c+d*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: AttributeError